二次函数-周末卷

第 42 题

考点：二次函数图像与系数的关系

① 由图像知：\(a < 0\)，对称轴\(x= -\frac{b}{2a} > 0\)则\(b > 0\)，与y轴交点\(c > 0\)，故\(abc < 0\)，①错误。
② 当\(x=-2\)时，函数值\(4a-2b+c < 0\)（图像在x轴下方），②错误。
③ 由顶点\(x=1\)（假设），\(a+b+c=2\)；又\(x=-1\)时\(y > 0\)，即\(a-b+c > 0\)。两式相加得\(2a+2c > 2\)，即\(a+c > 1\)。\(3a+c=(a+c)+2a\)，因\(a < 0\)但\(a+c > 1\)，可证\(3a+c > 0\)，③正确。
④ 顶点在\(x=1\)处，是函数最大值点，故对任意m，\(am^2+bm+c \leq a+b+c\)，即\(am^2+bm \leq a+b\)，④正确。
⑤ 三点到对称轴\(x=1\)的距离：\(|-5-1|=6\)，\(|-2-1|=3\)，\(|3-1|=2\)。开口向下，距离越远值越小，故\(y_1 < y_2 < y_3\)，⑤错误。
⑥ 方程\(ax^2+bx+c-1=0\)即\(ax^2+bx+c=1\)，因顶点\(y=2 > 1\)，故与直线\(y=1\)有两个交点，⑥正确。

综上，正确的有③④⑥，共\(3\)个，选\(D\)。

第 43 题

考点：二次函数顶点式与新定义

将\(y=-\sqrt{2}x^2-\sqrt{3}x-2\)化为顶点式：

\[ \begin{align*} y &= -\sqrt{2}\left(x^2 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}x\right) - 2 \\ &= -\sqrt{2}\left(x + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{3}{4} - 2 \\ &= -\sqrt{2}(x - m)^2 + k \text{，其中 } m = -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}，k = -\frac{5}{4} \end{align*} \]

由定义，设\(t=x_0-m \neq 0\)，则\(y_0-k=t\)，又\(y_0=-\sqrt{2}t^2+k\)，故\(t=-\sqrt{2}t^2\)，解得\(t=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)。

“开口大小” 为\(2|t|=2\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)。

第 44 题

考点：新定义与抛物线平移

抛物线\(y=(x-1)^2+1\)的顶点为\((1,1)\)。要使 "和谐值" 为\(2\)，可令新抛物线为\(y=(x-1)^2+3\)（顶点纵坐标与原顶点相差\(2\)，竖直距离恒为\(2\)）。

故一个符合条件的解析式为\(y=(x-1)^2+3\)（答案不唯一）。

第 45 题

考点：新定义与二次函数性质

\(C_1\)：\(y=6ax^2+ax+9a-4\)，其 "关联抛物线"\(C_2\)：\(y=ax^2+6ax+9a-4\)，化为顶点式：\(y=a(x+3)^2-4\)，顶点P\((-3,-4)\)，对称点Q\((-3,4)\)。
令\(y=0\)，解得\(x=-3\pm\frac{2}{\sqrt{a}}\)，故\(MN=\frac{4}{\sqrt{a}}\)。
四边形PMQN是正方形，故PQ=MN。PQ=8，则\(\frac{4}{\sqrt{a}}=8\)，解得\(a=\frac{1}{4}\)。
代入\(C_1\)得：\(y=6\times\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x+9\times\frac{1}{4}-4=\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}x-\frac{7}{4}\)。

第 46 题

考点：二次函数顶点式与平移

(1) 配方法：

\[ \begin{align*} y &= 2(x-1)(x-3) \\ &= 2(x^2-4x+3) \\ &= 2(x^2-4x+4-1) \\ &= 2(x-2)^2-2 \end{align*} \]

对称轴为直线\(x=2\)，顶点坐标为\((2,-2)\)。

(2) 向左平移\(4\)个单位，再向上平移\(2\)个单位，顶点\((2,-2)\)变为\((-2,0)\)，故新抛物线表达式为\(y=2(x+2)^2\)。

第 47 题

考点：二次函数解析式与平移

(1) 设解析式为\(y=a(x+2)(x-4)\)，代入C\((2,8)\)得\(a=-1\)，故\(y=-x^2+2x+8\)。

顶点M的横坐标\(x=\frac{-2+4}{2}=1\)，纵坐标\(y=9\)，即M\((1,9)\)。

(2) 新抛物线\(y=-x^2+4x+1=-(x-2)^2+5\)，顶点\((2,5)\)。

原顶点\((1,9)\)到新顶点\((2,5)\)，平移方向为向右平移1个单位，向下平移4个单位。

第 48 题

考点：二次函数顶点、交点与平移

(1) 抛物线\(y=(x+1)^2+2\)，顶点A\((-1,2)\)；与y轴交点B\((0,3)\)。

线段AB的长度：\(\sqrt{(-1-0)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2}\)。

(2) 平移后顶点在y轴上，设为\(y=x^2+k\)。与x轴交点距离为\(4\)，则\(2\sqrt{-k}=4\)，解得\(k=-4\)，故表达式为\(y=x^2-4\)。

第 49 题

考点：二次函数的实际应用

(1) 跑道周长\(2x+\pi·AD=400\)，则\(AD=\frac{400-2x}{\pi}\)，面积\(S=x·\frac{400-2x}{\pi}=\frac{-2x^2+400x}{\pi}\)，定义域为\((0,200)\)。

(2) 二次函数\(S=\frac{-2}{\pi}x^2+\frac{400}{\pi}x\)开口向下，顶点在\(x=100\)，故当\(x=100\)米时，面积最大。

第 50 题

考点：二次函数解析式与平移

(1) 代入A\((-3,0)\)和B\((0,-3)\)，得\(c=-3\)，\(b=2\)，故表达式为\(y=x^2+2x-3\)。

(2) 向右平移k个单位，新抛物线为\(y=(x-k)^2+2(x-k)-3\)。代入B\((0,-3)\)，解得\(k=2\)（\(k>0\)）。

第 51 题

考点：抛物线平移与坐标变换

(1) \(C_1\)：\(y=(x-1)^2-1\)，向左平移\(2\)个单位，向下平移\(3\)个单位，得\(C_2\)：\(y=(x+1)^2-4=x^2+2x-3\)。

(2) 设平移h个单位，A'\((-h,5)\)代入\(C_2\)得\(h=4\)，故点B与B'的距离为\(4\)。

第 52 题

考点：二次函数解析式与面积计算

(1) 由表格知对称轴\(x=2\)，顶点D\((2,-1)\)。设\(y=a(x-2)^2-1\)，代入\(x=1,y=0\)得\(a=1\)，故解析式为\(y=x^2-4x+3\)，顶点D\((2,-1)\)。

(2) A\((0,3)\)，P\((5,8)\)（代入解析式得t=8）。用割补法，直线AD的方程为\(y=-2x+3\)，当\(x=5\)时，\(y=-7\)，故\(PE=8-(-7)=15\)。△PAD的面积\(=\frac{1}{2}\times15\times2=15\)。